Calculo
diferencial.
El cálculo diferencial es una
parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo.
Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian
las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El
principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada.
Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.
Importancia del cálculo.
El cálculo de costos
es una herramienta fundamental si se pretende trabajar eficientemente. Algunos
creen que sólo sirve para determinar cuál es el precio más apropiado,
restándole importancia ya que en muchos casos se debe "acomodar" a
los precios que pone la competencia. Sin embargo el conocimiento de los costos
es útil para determinar la eficiencia con que se trabaja, precisar el momento
en que es recomendable cambiar una determinada máquina, analizar alternativas
de manejo, reconocer la incidencia que una determinada práctica, así como la
modificación del sistema comercial o de la operatoria sobre la distribución de
los costos, analizar a través de los años como evolucionan los principales
variables que inciden en la economía de una planta de acopio, comparar plantas
entre sí, etc..
Gottfried Wilhelm Leibniz
Gottfried
Wilhelm Leibniz, a veces von Leibniz1 (Leipzig, 1 de julio de1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un filósofo, matemático,jurista, bibliotecario y político alemán.
Fue uno de los grandes pensadores de
los siglos XVII y XVIII, y se le reconoce como "El último genio
universal". Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología,lógica, filosofía de la
religión, así como a la matemática, física, geología, jurisprudencia e
historia. Incluso Denis Diderot,
el filósofo deísta francés del siglo XVIII, cuyas opiniones no podrían estar en
mayor oposición a las de Leibniz, no podía evitar sentirse sobrecogido ante sus
logros, y escribió en la Enciclopedia:
"Quizás nunca haya un hombre leído tanto, estudiado tanto, meditado más y
escrito más que Leibniz... Lo que ha elaborado sobre el mundo, sobre Dios, la
naturaleza y el alma es de la más sublime elocuencia. Si sus ideas hubiesen
sido expresadas con el olfato de Platón, el filósofo de Leipzig no cedería en
nada al filósofo de Atenas."2 De hecho, el tono de Diderot es casi
de desesperanza en otra observación, que contiene igualmente mucho de verdad:
"Cuando uno compara sus talentos con los de Leibniz, uno tiene la
tentación de tirar todos sus libros e ir a morir silenciosamente en la
oscuridad de algún rincón olvidado." La reverencia de Diderot contrasta
con los ataques que otro importante filósofo, Voltaire, lanzaría contra
el pensamiento filosófico de Leibniz; a pesar de reconocer la vastedad de la
obra de éste, Voltaire sostenía que en toda ella no había nada útil que fuera
original, ni nada original que no fuera absurdo y risible.
Ocupa un lugar igualmente importante
tanto en la historia de la filosofíacomo en la de las matemáticas. Inventó el cálculo infinitesimal, independientemente
de Newton,
y su notación es la que se emplea desde entonces. También inventó el sistema binario,
fundamento de virtualmente todas las arquitecturas de las computadoras
actuales. Fue uno de los primeros intelectuales europeos que reconocieron el
valor y la importancia del pensamiento chino y de la China como potencia desde
todos los puntos de vista.
Junto con René Descartes y Baruch Spinoza,
es uno de los tres grandes racionalistas del siglo XVII. Su filosofía se enlaza
también con la tradición escolástica y anticipa la lógica moderna y la filosofía analítica. Leibniz hizo asimismo
contribuciones a la tecnología y anticipó nociones que aparecieron mucho más
tarde en biología, medicina, geología, teoría de la probabilidad, psicología,
ingeniería y ciencias de la información. Sus contribuciones a esta vasta lista
de temas está desperdigada en diarios y en decenas de miles de cartas y
manuscritos no publicados. Hasta el momento, no se ha realizado una edición
completa de sus escritos, y por ello no es posible aún hacer un recuento
integral de sus logros.
Leonhard Paul Euler
Leonhard Paul
Euler /oile'h/ (Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo, Rusia, 18 de septiembre de 1783), conocido como Leonhard
Euler, fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal
matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos
de todos los tiempos.
Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó
importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna
terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la
noción de función matemática.1 Asimismo se le conoce por sus trabajos
en los campos de la mecánica, óptica yastronomía.
Euler ha sido uno de los matemáticos
más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar
entre 60 y 80 volúmenes.2 Una afirmación atribuida a Pierre Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los
matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos
nosotros.»3
En conmemoración suya, Euler ha
aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos,
así como en numerosos sellos postalestanto
suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.
Sir Isaac Newton
Sir Isaac
Newton (25 de diciembre de 1642 JU – 20 de marzo de 1727JU; 4 de enero de 1643 GR – 31 de marzo de 1727 GR) fue un físico,filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés,
autor de losPhilosophiae naturalis principia
mathematica, más conocidos como losPrincipia, donde
describió la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante
las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros
descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en su
obraOpticks)
y el desarrollo del cálculo
matemático.
Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral
y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó
en otras áreas de la matemática,
desarrollando elteorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.
Entre sus hallazgos científicos se
encuentran el descubrimiento de que elespectro de
color que se observa
cuando la luz blanca pasa por un prismaes
inherente a esa luz, en lugar de provenir del prisma (como había sido postulado
por Roger Bacon en el siglo XIII);
su argumentación sobre la posibilidad de que la luz estuviera compuesta por partículas; su desarrollo de una ley de convección térmica, que describe la
tasa de enfriamiento de los objetos expuestos al aire; sus estudios sobre la velocidad del sonidoen el aire; y su
propuesta de una teoría sobre el origen de las estrellas. Fue también un
pionero de la mecánica de fluidos, estableciendo una ley
sobre la viscosidad.
Newton fue el primero en demostrar
que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de
los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como elcientífico más grande de todos los tiempos, y su
obra como la culminación de la revolución científica. El matemático y
físico matemáticoJoseph Louis Lagrange (1736–1813), dijo que "Newton fue
el más grande genio que ha existido y también el más afortunado dado que sólo
se puede encontrar una vez un sistema que rija el mundo."
Ejemplos.
sumatoria.
Limites.
1.Si f(x) = x ² + 2 y g(x) = 1/x ; calcular:
a.(f + g)(x)
b.(f - g)(x)
c.(f.g)(x)
d.(f/g)(x)
Resolución
Hallamos cada uno de los límites por separado
f(x) = 2 ² + 2 = 11 y g(x) = 1/3
a.(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 11 + 1/3 = 34/3
b.(f - g)(x) = f(x) - g(x) = 11 - 1/3 = 32/3
c.(f.g)(x) = f(x) . g(x) = 11.(1/3) = 11/3
d.(f/g)(x) = f(x) / g(x) = 11/(1/3) = 33
Derivada.
Ejercicio
Solución:
